Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限．其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm

（1）若OB=6cm．①求點C的坐標；②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；

（2）點C與點O的距離的最大值=　 　 cm．

Answer 1

【答案】（1）①C（，9）；②；（2）12．

【解析】試題分析：（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，利用含30°角的直角三角形的性質解答即可；

②設點A向右滑動的距離為x，則點B向上滑動的距離也為x，利用三角函數和勾股定理進行解答即可；

（2）過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，得到△ACE∽△BCD，再利用相似三角形的性質解答．

試題解析：（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：

在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，CD=，所以點C的坐標為（，9）；

②設點A向右滑動的距離為x，根據題意得點B向上滑動的距離也為x，如圖2：

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=，∴A'O= ，B'O=6+x，A'B'=AB=12，在△A'O B'中，由勾股定理得， ，解得：x=，∴滑動的距離為；

（2）設點C的坐標為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：

則OE=﹣x，OD=y，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴， ==，∴當取最大值時，即C到y軸距離最大時， 有最大值，即OC取最大值，如圖，即當C'B'旋轉到與y軸垂直時，此時OC=12，故答案為：12．