Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交BC的延長線于點M，若∠A=40度．
（1）求∠NMB的度數；
（2）如果將（1）中∠A的度數改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的度數；
（3）你發現有什么樣的規律性，試證明之；
（4）若將（1）中的∠A改為鈍角，你對這個規律性的認識是否需要加以修改？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形的性質可求得∠B=∠C，進而根據三角形內角和可求解．
（2）同（1）解．
（3）設∠A為未知數，根據三角形內角和定理可證明．
（4）不需要，理由同上．
解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°；

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°；

（3）規律：∠NMB的度數等于頂角∠A度數的一半，
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=（180°-∠A），
∵∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-（180°-∠A）=∠A，
即∠NMB的度數等于頂角∠A度數的一半；

（4）將（1）中的∠A改為鈍角，這個規律不需要修改，
仍有等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊或底邊的延長線相交所成的銳角等于頂角的一半．
點評：本題考查的知識點有等腰三角形的性質，三角形內角和定理以及線段垂直平分線的性質，難度不大．做題時需要看清題意即可求解．