Question

【題目】閱讀理解：

如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．解決問題：

（1）如圖①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；

（2）如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點；

（3）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試確定E點位置．

Answer 1

【答案】（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，理由見解析；（2）見解析；（3）點E是AB的中點時，點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點

【解析】

（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．

（2）以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求．

（3）由點E是矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根據相似三角形的對應角相等，可求得∠BCE＝∠BCD＝30°，利用含30°角的直角三角形性質可得BE與AB之間的數量關系．

解：（1）∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，

∴∠AED+∠ADE＝135°，∠AED+∠CEB＝135°

∴∠ADE＝∠CEB，

在△ADE和△BEC中，∵∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，

∴△ADE∽△BEC，

∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

（2）如圖所示：點E是四邊形ABCD的邊AB上的強相似點，

（3）如圖③中，

∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM．

由折疊可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，

∴∠BCE＝∠BCD＝30°，BE＝CE＝AB．

∴點E是AB的中點時，點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點．