Question

已知一次函數(shù)y=2x-k與反比例函數(shù)y=

k+2

x

的圖象相交于A和B兩點(diǎn)，其中有一個(gè)交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3．
（1）分別求兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及△AOB的面積；
（3）若直線AB上有一點(diǎn)P，使得△APO∽△AOB，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先把A的橫坐標(biāo)為3代入兩個(gè)函數(shù)的解析式中，然后就可以確定k的值，進(jìn)而得出兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式；
（2）利用兩個(gè)函數(shù)的解析式組成方程組，解方程組就可以得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；求出直線AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用面積的分割法求出△AOB的面積；
（3）先根據(jù)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出OA²及AB的長，再由△APO∽△AOB得出

AP

OA

=

OA

AB

，故可得出AP的長，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線y=2x-4上，所以設(shè)P（x，2x-4），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出AP的表達(dá)式，得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=2x-k與反比例函數(shù)y=

k+2

x

的圖象相交于A和B兩點(diǎn)，其中有一個(gè)交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，
∴

y=6-k y= k+2 3

，
解得k=4．
∴一次函數(shù)的解析式為：y=2x-4；反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=

6

x

；

（2）∵一次函數(shù)的解析式為y=2x-4；反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=

6

x

，
∴2x-4=

6

x

，解得x₁=3，x₂=-1，
∴A（3，2），B（-1，-6）；
∵令直線AB解析式y(tǒng)=2x-4中y=0，
解得x=2，
∴直線AB與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為C（2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=

1

2

×2×2+

1

2

×2×|-6|=8；

（3）∵A（3，2），B（-1，-6），
∴OA²=3²+2²=13，AB=

(3+1)2+(2+6)2

=4

5

∵△APO∽△AOB，
∴

AP

OA

=

OA

AB

，
∴OA²=AP•AB，即13=AP•4

5

，
解得AP=

13 5

20

，
∵點(diǎn)P在直線y=2x-4上，
∴設(shè)P（x，2x-4），
∴AP=

(3-x)2+(2-2x+4)2

，
解得x=3±

42

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3+

42

，2+2

42

）或（3-

42

，6-2

42

）．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．