Question

如圖，直線y=-2x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于點A、B，S_△OAB=16，拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過點A，頂點M在直線y=-2x+n上．
（1）求n的值；
（2）求拋物線的解析式；
（3）如果拋物線的對稱軸與x軸交于點N，那么在對稱軸上找一點P，使得△OPN和△AMN相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線y=-2x+n可以求得OA，OB的長度，代入S_△OAB=16解得n值；
（2）由直線與拋物線之間的關系，判斷拋物線開口向下，且能求得對稱軸的值，以及頂點M，又能求得點A，代入拋物線解析式即可；
（3）使得△OPN和△AMN相似，有兩種情況：一種是點P與點M不重合，則由，根據（2）所求得的線段長度從而求得點P的縱坐標，橫坐標即為拋物線對稱軸，從而求得點P；另一種是點P與點M重合，即為點M坐標．
解答：解：（1）∵直線y=-2x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴當x=0時，y=n即B（0，n）；當y=0時，x=即點A（，0），
則OA=，OB=n，
∴=16，
解得n=±8．
∵n＞0，
∴n=-8不符題意，舍去．
故n=8；
答：n=8．

（2）由頂點M在直線y=-2x+8上，可設點M（x，-2x+8）．
由n=8，則點A（4，0），B（0，8）．
∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過原點及點A，且頂點M在直線y=-2x+8上，
∴a＜0，對稱軸為，即，
把點A（4，0）代入y=ax²+bx，得：16a+4b=0①，
把x=2代入y=-2x+8，得M（2，4），
把點M的坐標代入拋物線解析式，得4a+2b=4②，
由①②解得：a=-1，b=4．
∴拋物線解析式為：y=-x²+4x；
答：拋物線解析式為y=-x²+4x．

（3）由題意設點P（2，y），則y=PN．
要使得△OPN和△AMN相似，
有兩種情況：

一種：點P不與點M重合，則，
在Rt△MNA中，AN=4-2=2，MN=4，
代入，解得y=1．
∴點P（2，1）；
另一種：點P與點M重合．

則由題意可知點O與點A關于對稱軸對稱，
則△OPN≌△AMN，
∴△OPN∽△AMN，
∴點P（2，4）．
∴點P坐標為：（2，1）或（2，4）．
另外：點P與點M關于X軸對稱點也可以，
∴點P坐標為：（2，-1）或（2，-4）．
答：點P坐標為：（2，1）或（2，4）或（2，-1）或（2，-4）．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，其中涉及到了已知直線求線段的長度，求拋物線解析式，以及動點根據相似三角形對應邊比相等求點的坐標．