Question

如圖，tan∠MAB=2，AB=6，點P為線段AB上一動點（不與點A、B重合）．過點P作AB的垂線交射線AM于點C，連接BC，作射線AD交射線CP于點D，且使得∠BAD=∠BCA，設AP=x
（1）寫出符合題意的x的取值范圍；
（2）點N在射線AB上，且△ADN∽△ABC，當x=2時，求PN的長；
（3）試用x的代數式表示PD的長．

Answer 1

分析：（1）由于點P為線段AB上一動點（不點A、B重合），則有0＜x＜6；
（2）由于△ADN∽△ABC，根據相似的性質得∠AND=∠ACB，而∠BAD=∠BCA，則∠AND=∠NAD，又DP⊥AN，可判斷△DAN為等腰三角形，根據其性質有PN=PA=2；
（3）如左圖過B點作BE⊥AC于點E，在Rt△ABE中，利用三角函數的定義tan∠EAB=

BE

AE

=2，得到BE=2AE，再利用勾股定理可計算出AE=

6 5

5

，則BE=

12 5

5

，在Rt△APC中運用同樣的方法得到CP=2AP=2x，AC=

5

x，則CE=AC-AE=

5

x-

6 5

5

，再利用∠BAD=∠BCA可證得Rt△APD∽Rt△CEB，根據相似的性質得到

PD

BE

=

AP

CE

，即

PD

12 5 5

=

x

5 x- 6 5 5

，即可求出PD的長．

解答：解：（1）x的取值范圍為：0＜x＜6；

（2）如右圖，
∵△ADN∽△ABC，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠BAD=∠BCA，
∴∠AND=∠NAD，
∵DP⊥AN，
∴△DAN為等腰三角形，
∴PN=PA，
當x=2時，PN=2；

（3）如左圖，過B點作BE⊥AC于點E，
在Rt△ABE中，AB=6，
∵tan∠EAB=

BE

AE

=2，
∴BE=2AE，
∵AE²+BE²=AB²，
∴AE²+4AE²=36，解得AE=

6 5

5

，
∴BE=

12 5

5

，
在Rt△APC中，AP=x，
∵tan∠CAP=

CP

AP

=2，
∴CP=2AP=2x，
∴AC=

AP2+CP2

=

5

x，
∴CE=AC-AE=

5

x-

6 5

5

，
∵∠BAD=∠BCA，
∴Rt△APD∽Rt△CEB，
∴

PD

BE

=

AP

CE

，即

PD

12 5 5

=

x

5 x- 6 5 5

，
∴PD=

12x

5x-6

．

點評：本題考查了相似形綜合題：運用相似比和勾股定理進行幾何計算是常用的方法；理解三角函數值的定義和等腰三角形的判定與性質．