Question

如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑．
（1）求證：OP垂直平分AB；
（2）求證：PO∥BC；
（3）若∠BAC=25°時，求∠P的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP．利用切線的性質推知△APB為等腰三角形、OP為角平分線；然后根據等腰三角形“三合一”的性質推知OP是邊AB的中垂線；
（2）連接BC．利用圓周角定理證得∠ABC=90°，然后結合（1）中的垂直的定義，根據“同位角相等，兩直線平行”判定BC∥OP；
（3）由相似三角形△AOH∽△POA的對應角相等即可求得∠APB=50°．
解答：證明：（1）連接OP．
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
∴OP⊥AB于H；

（2）連接BC．
∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC=90°
∴∠AHO=∠ABC=90°
∴BC∥OP；

（3）∵PA為⊙O的切線，A為切點，∴∠OAP=90°
∴∠AOP=∠HOA，∠OAP=∠AHO=90°
∴△AOH∽△POA
∴∠OAH=∠APO=25°
∴∠APB=50°．
點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質等知識點．在圓中，直徑所對的圓周角是直角．