Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；
（2）設直線CD交x軸于點E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

分析：（1）由拋物線過A、B、C三點可求出拋物線表達式；
（2）假設存在，設出P點，解出直線CD的解析式，根據點P到CD的距離等于PO可解出P點坐標；
（3）應分兩種情況：拋物線向上或下平移，設出解析式，代入點求出平移的單位長度．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4）．
把C（0，8）代入，得a=-1．
∴y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
頂點D（1，9）；（2分）

（2）假設滿足條件的點P存在．依題意設P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）求得直線CD的解析式為y=x+8，
它與x軸的夾角為45°．
設OB的中垂線交CD于H，則H（2，10）．
則PH=|10-t|，點P到CD的距離為d=

2

2

PH=

2

2

|10-t|．
又PO=

t2+22

=

t2+4

．（4分）
∴

t2+4

=

2

2

|10-t|．
平方并整理得：t²+20t-92=0，解之得t=-10±8

3

．
∴存在滿足條件的點P，P的坐標為（2，-10±8

3

）．（6分）

（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．
①若拋物線向上平移，可設解析式為y=-x²+2x+8+m（m＞0）．
當x=-8時，y=-72+m．
當x=4時，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．（8分）
②若拋物線向下平移，可設解析式為y=-x²+2x+8-m（m＞0）．
由

y=-x2+2x+8-m y=x+8

，
有-x²+x-m=0．
∴△=1-4m≥0，
∴m≤

1

4

．
∴向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移

1

4

個單位長．（10分）

點評：此題考查待定系數求拋物線解析式，第二問考查垂直平分線性質，利用距離相等解題，最后一問考拋物線的平移，要注意已知條件和技巧．