Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A(－2,0).

(1)填空：c= (用含b的式子表示)。

(2)若b＜4

①求證：拋物線與x軸有兩個交點；

②設拋物線與x軸的另一個交點為B，當線段AB上恰有5個整點（橫坐標、縱坐標都是整數的點），直接寫出b的取值范圍為 ；

(3)直線y=x－4經過拋物線y=x2+bx+c的頂點P，求拋物線的表達式。

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②；（3） 或

【解析】試題分析：

（1）把點A（-2，0）代入y=x2+bx+c中得到關于b、c的等式，將等式變形即可得到用含“b”表示的c；

（2）①由（1）中所得結果可得：△=，結合b<4可得△>0，由此即可得到拋物線和x軸有兩個不同的交點；

②根據①中所得結果可表達出拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為，結合線段AB上恰好有5個整數點，即可求得b的取值范圍；

（3）將拋物線配方，得到用“b”表達的頂點P的坐標，將所得坐標代入解出b的值，再代回中即可求得二次函數的解析式.

試題解析：

（1）把點A（-2，0）代入y=x2+bx+c得： ，

∴c=2b-4；

（2）① ∵在中， ，

∴當時， ，

即 ，

∴當 時，拋物線與x軸有兩個交點；

②當時，有，

∵當時， ，

∴，

∴，

∴點B的坐標為 ，

當點B在點A的右邊時，

∵點A的坐標為（-2，0），且線段AB上恰好有5個知識點，

∴這5個整數點所對應的數分別是-2，-1，0，1，2，

∴，

∴此時b的取值范圍是： ；

當點B在點A的左側時，這5個整數點分別是：-2，-3，-4，-5，-6，

∴，即，解得： ，

∵b<4，

∴此種情況不成立；

綜上所述，可得b的取值范圍為： ；

（3）∵

∴頂點P的坐標為： ，

將其代入 中，得， ，

解得， ，

∴拋物線的表達式為 或.