Question

如圖①，將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD與△ECF疊放在一起。
（1）操作：如圖②，將△ECF的頂點F固定在△ABD的BD邊上的中點處，△ECF繞點F在BD邊上方左右旋轉，設旋轉時FC交BA于點H（H點不與B點重合），FE交DA于點G（G點不與D點重合），求證：BH·GD=BF²；
（2）操作：如圖③，△ECF的頂點F在△ABD的BD邊上滑動（F點不與B、D點重合），且CF始終經過點A，過點A作AG∥CE，交FE于點G，連接DG，探究：FD+DG=______，請予證明。

Answer 1

解：（1）∵將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，
∴∠B=∠D，
∵將△ECF的頂點F固定在△ABD的BD邊上的中點處，△ECF繞點F在BD邊上方左右旋轉，
∴BF=DF，
∵∠HFG=∠B，
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，
∴，
即BH·GD=BF·DF，
∴BH·GD=BF²；
（2）BD，證明如下：
∵AG∥CE，
∴∠FAG=∠C，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAF=∠DAG，
又∵AB=AD，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD。