Question

如圖1，將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD與△ECF疊放在一起．
（1）操作：如圖2，將△ECF的頂點F固定在△ABD的BD邊上的中點處，△ECF繞點F在BD邊上方左右旋轉，設旋轉時FC交BA于點H（H點不與B點重合），FE交DA于點G（G點不與D點重合）．
求證：BH•GD=BF²
（2）操作：如圖3，△ECF的頂點F在△ABD的BD邊上滑動（F點不與B、D點重合），且CF始終經過點A，過點A作AG∥CE，交FE于點G，連接DG．
探究：FD+DG=

 

．請予證明．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的性質以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；
（2）利用已知以及平行線的性質證明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的關系．

解答：證明：（1）∵將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，
∴∠B=∠D，
∵將△ECF的頂點F固定在△ABD的BD邊上的中點處，△ECF繞點F在BD邊上方左右旋轉，
∴BF=DF，
∵∠HFG=∠B，
又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，
∴

BF

DG

=

BH

DF

，
∴BH•GD=BF²；

（2）∵AG∥CE，
∴∠FAG=∠C，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAF=∠DAG，
又∵AB=AD，
∴△ABF≌△ADG，
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD，
故答案為：BD．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及全等三角形的判定，根據等腰三角形的性質得出∠BAF=∠DAG是解決問題的關鍵．