Question

a＞b＞c是自然數，分別除以11的余數是2，7，9，那么（a+b+c）×（a-b）×（b-c）除以11的余數是？

Answer 1

【答案】分析：可以假設a=11m+2，b=11n+7，c=11k+9，m，n，k為非負整數，且a＞b＞c．則（a+b+c）×（a-b）×（b-c）變形得到[11（m+n+k+1）+7][11（m-n-1）+6][11（n-k-1）+9]，則余數為 7×6×9÷11的余數．
解答：解：假設a=11m+2，b=11n+7，c=11k+9，m，n，k為非負整數，且a＞b＞c．
∵（a+b+c）×（a-b）×（b-c）
=（11m+11n+11k+11+7）（11m+2-11n-7）（11n+7-11k-9）
=[11（m+n+k+1）+7][11（m-n-1）+6][11（n-k-1）+9]，
∴（a+b+c）×（a-b）×（b-c）÷11的余數等于 7×6×9÷11的余數．
又∵7×6×9=378=11×34+4，
∴7×6×9÷11=34余4．
答：（a+b+c）×（a-b）×（b-c）除以11的余數是4．
點評：考查了帶余除法，本題難點是得到（a+b+c）×（a-b）×（b-c）除以11的余數即7×6×9除以11的余數．