Question

古希臘數(shù)學家丟番圖（公元250年前后）在《算術》中就提到了一元二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如x²+ax=b²（a＞0，b＞0）的方程的圖解法是：如圖，以

a

2

和b為兩直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD=

a

2

，則AD的長就是所求方程的解．
（1）請用含字母a、b的代數(shù)式表示AD的長．
（2）請利用你已學的知識說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)勾股定理求得AB的長，再求AD的長．
（2）正確性：形象直觀；遺憾之處：圖解法不能表示方程的負根．

解答：解：（1）∵∠C=90°，BC=

a

2

，AC=b，
∴AB=

b2+ a2 4

，
∴AD=

b2+ a2 4

-

a

2

=

4b2+a2 -a

2

；

（2）用求根公式求得：x1=

- 4b2+a2 -a

2

；x2=

4b2+a2 -a

2

（2分）
正確性：AD的長就是方程的正根．
遺憾之處：圖解法不能表示方程的負根．（2分）

點評：本題考查了一元二次方程的解法-公式法，解一元二次方程的方法有：直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根據(jù)方程的特點進行選擇即可．