Question

[定理表述]
請你根據圖1中的直角三角形敘述勾股定理（分別用文字語言及符號語言敘述）；
[嘗試證明]
它有很多種證明方法，我國漢代數學家趙爽根據弦圖，利用面積法進行證明．現以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；
[知識拓展]
如圖3所示，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，已知A、B到l的距離分別是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，現設計兩種方案：
方案一：如圖4所示，AP⊥l于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a₁=AB+AP．
方案二：如圖5所示，點A′與點A關于l對稱，A′B與l相交于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a₂=AP+BP．①在方案一中，a₁=

x+3

km（用含x的式子表示）
②在方案二中，a₂=

x2+48

km（用含x的式子表示）
③請你分析：要使鋪設的輸氣管道較短，應選擇方案一還是方案二．

Answer 1

分析：[定理表述]直接利用勾股定理敘述并寫出即可；
[嘗試證明]首先得出∠AED=90°，再利用S_梯形ABCD=S_△ABE+S_△DEC+S_△AED，得出即可；
[知識拓展]①AB=xkm，利用AP⊥l于點P，則AP=AC，得出a₁=AB+AP的值；
②過B作BM⊥AC于M，則AM=1，在△ABM中，由勾股定理得：BM²=AB²-1²=x²-1，在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B求出即可；
③分別根據當

a

2 1

-

a

2 2

＞0，當

a

2 1

-

a

2 2

=0，當

a

2 1

-

a

2 2

＜0時，分別得出x的取值范圍進而得出答案．

解答：解：[定理表述]直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．
如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么c²=a²+b²，
[嘗試證明]
在△ABE和△ECD中，

AB=EC ∠B=∠C BE=CD

，
∴△ABE≌△ECD（SAS），
∴∠AEB=∠EDC，
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，
S_梯形ABCD=S_△ABE+S_△DEC+S_△AED，
∴

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²，
整理，得a²+b²=c²，

[知識拓展]
①∵AB=xkm，AP⊥l于點P，
∴AP=AC，
∴a₁=AB+AP=x+3，
故答案為：x+3；

②過B作BM⊥AC于M，則AM=4-3=1，在△ABM中，
由勾股定理得：BM²=AB²-1²=x²-1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=

x2-1+49

=

x2+48

．
故答案為：

x2+48

．

③∵

a

2 1

-

a

2 2

=（x+3）²-（

x2+48

）²=x²+6x+9-x²-48=6x-39，
∴當

a

2 1

-

a

2 2

＞0（即a₁-a₂＞0，a₁＞a₂）時，
6x-39＞0，
解得：x＞6.5；
當

a

2 1

-

a

2 2

=0（即a₁-a₂=0，a₁=a₂）時，
6x-39=0，
解得：x=6.5；
當

a

2 1

-

a

2 2

＜0（即a₁-a₂＜0，a₁＜a₂）時，
6x-39＜0，
解得：x＜6.5；
綜上所述，當x＞6.5時，選擇方案二，輸氣管道較短；
當x=6.5時，兩種方案一樣；
當0＜x＜6.5時，選擇方案一，輸氣管道較短．

點評：此題主要考查了勾股定理得證明以及最短路徑問題的應用，利用分類討論得出最值是解題關鍵．