Question

（2011•黔西南州）如圖，小紅作出了邊長為1的第1個正三角形△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面積，然后分別取△A₁B₁C₁三邊的中點A₂B₂C₂，作出了第二個正三角形△A₂B₂C₂，算出第2個正△A₂B₂C₂的面積，用同樣的方法作出了第3個正△A₃B₃C₃，算出第3個正△A₃B₃C₃的面積，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A_nB_nC_n的面積是

3

4n

．

Answer 1

分析：過A₁作A₁D⊥B₁C₁于D，求出高A₁D，求出△A₁B₁C₁的面積，根據三角形的中位線求出B₂C₂=

1

2

B₁C₁，A₂B₂=

1

2

A₁B₁，A₂C₂=

1

2

A₁C₁，推出△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，得出S△A2B2C2=

1

4

S△A1B1C1 同理△A₃B₃C₃∽△A₂B₂C₂，推出S△A3B3C3 =

1

16

S△A1B1C1得出規律S△AnBnCn =

1

4n-1

S△A1B1C1，代入求出即可．

解答：解：過A₁作A₁D⊥B₁C₁于D，
∵等邊三角形A₁B₁C₁，
∴B₁D=

1

2

，
由勾股定理得：A₁D=

3

2

，
∴△A₁B₁C₁的面積是

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
∵C₂、B₂、A₂分別是A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁的中點，
∴B₂C₂=

1

2

B₁C₁，A₂B₂=

1

2

A₁B₁，A₂C₂=

1

2

A₁C₁，
即

B2C2

B1C1

=

A2B2

A1B1

=

A2C2

A1C1

=

1

2

，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，且面積比是1：4，S△A2B2C2=

1

4

S△A1B1C1 
同理△A₃B₃C₃∽△A₂B₂C₂，且面積比是1：4，S△A3B3C3 =

1

16

S△A1B1C1
…
∴S△AnBnCn =

1

4n-1

S△A1B1C1=

1

4n-1

×

3

4

=

3

4n

故答案為：

3

4n

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形，三角形的中位線的應用，解此題的關鍵是根據求出結果得出規律S△AnBnCn =

1

4n-1

S△A1B1C1，題目比較典型，但有一定的難度．