Question

如圖，AC是某市環城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其與環城路AC的交叉路口分別是A、B、C經測量，花卉世界D位于點A的北偏東45°方向，點B的北偏東30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求∠ADB的大小；
（2）求B、D之間的距離；
（3）求C、D之間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質，以及方向角的定義即可求解；
（2）根據等角對等邊，即可證得BD=AB即可求解；
（3）根據等角對等邊即可證得BC=CD，然后根據三角函數即可求得CD的長．

解答：解：（1）∵∠EAB=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°，
又∵AE∥BF，
∴∠ABF=180°-∠EAB=120°，
∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=120°+30°=150°，
∴∠ADB=180°-∠DAC-∠ABD=180°-15°-150°=15°；

（2）由（1）可知∠ADB=15°，
∵∠DAC=15°，
∴∠DAC=∠ADB=15°，
∴BD=AB=2km．
即B，D之間的距離是2km；

（3）過B作BO⊥DC，交DC的延長線于點O，
在Rt△DBO中，BD=2km，
∵∠FBD=30°，
∴∠DBO=60°，
∴DO=2×sin60°=

3

（km），BO=2×cos60°=1，
在Rt△CBO中，
∵∠BCO=∠EAC=60°，
∴∠CBO=30°，CO=BO•tan30°=

3

3

，
∴CD=DO-CO=

3

-

3

3

=

2 3

3

（km）．
即C，D之間的距離

2 3

3

km．

點評：本題主要考查了方向角含義以及三角函數，正確記憶三角函數的定義，把一般三角形通過作高線轉化為直角三角形是解決本題的關鍵．