Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點.

（1）求拋物線解析式：

（2）拋物線對稱軸上存在一點，連接、，當值最大時，求點H坐標：

（3）若拋物線上存在一點，，當時，求點坐標：

（4）若點M是平分線上的一點，點是平面內一點，若以、、、為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點；（3）；（4），

【解析】

（1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式，解方程組求出a、b的值即可得答案；（2）連接AC，延長AC交拋物線對稱軸與H，由A、C兩點坐標可得直線AC的解析式，根據拋物線解析式可得對稱軸方程，根據A、C、H三點在一條直線時，的值最大，即可得答案；（3）由C點坐標可得△ABC和△ABP的高為4，可得P點縱坐標n=±4，把n=±4代入拋物線解析式求出m的值，根據mn>0即可得P點坐標；（4）設∠BAC的角平分線與y軸交于E點，過點E作EF⊥AC，根據角平分線的性質可證明△AFE≌△AOE，可得出AF的長，利用勾股定理可求出OE的長，可得E點坐標，進而利用待定系數法可求出直線AE的解析式，分兩種情況：①當∠ABM1=90°時，M1N1=AB，AN1=BM，M1B⊥x軸，可得點M1的橫坐標，代入AE的解析式可得點M1的縱坐標，即可得出BM的長，進而可得N1點坐標；②當∠AM2B=90°時，可知∠N2BA=∠BAE，過N2作N2G⊥x軸，根據點E坐標可得∠BAE的正弦值和余弦值，即可求出BN2的長，利用∠N2BA的正弦和余弦可求出N2G和BG的長，進而可得OG的長，即可得N2坐標；綜上即可得答案.

（1）∵A（-3，0），B（4，0），點A、B在拋物線上，

∴

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=x2-x-4.

（2）連接AC，延長AC交拋物線對稱軸與H，

∵拋物線解析式為y=x2-x-4，與軸交于點C

∴C（0，-4），對稱軸為直線x=-=，

∵≤AC，

∴A、C、H在一條直線上時取最小值，

設直線AC的解析式為y=kx+b,

∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為y=x-4，

當x=時，y=，

∴H點坐標為（，）.

（3）∵S△ABC=S△ABP，

∴ABOC=AB ，

∴=4，

當n=4時，4=m2-m-4，

解得m=，

∵mn>0，

∴m=，

∴P點坐標為（，4）

當n=-4時，-4=m2-m-4，

解得：m=1或m=0，

∵mn>0，

∴m=1或m=0均不符合題意，

綜上：P點坐標為（，4）.

（4）設∠BAC的角平分線交y軸于E，過E作EF⊥AC于F，

∵A（-3，0），B（4，0），C（0，-4），

∴AB=7，AC=5，OA=3，OC=4，

∵AE為∠BAC的角平分線，

∴OE=EF，

又∵AE=AE，

△AOE≌△FAE，

∴AF=OA=3，

∴FC=5-3=2，

∴EF2+FC2=CE2，即OE2+22=(4-OE)2，

解得：OE=，

∵點E在y軸負半軸，

∴E點坐標為（0，-），

設直線AE的解析式為y=kx+b，

∴

解得：

∴直線AE的解析式為y=，

①當∠ABM1=90°時，

∵ANMB是矩形，

∴M1N1=AB=7，AN1=BM，M1B⊥x軸，AN1⊥x軸，

∴x=4時，y=，

∴點N1坐標為（-3，）.

②當∠AM2B=90°時，過N2作N2G⊥x軸，

∵AM2BN2是矩形，

∴∠N2BA=∠BAE，

∵OA=3，OE=，

∴AE=，

∴sin∠BAE==，cos∠BAE==，

∴sin∠N2BA =，cos∠N2BA=

∴BN2=ABcos∠N2BA=，

∴N2G=BN2sin∠N2BA=，BG=BN2cos∠N2BA=，

∴OB-BG=-，

∴點N2坐標為（-，）.

綜上所述：點N的坐標為N1（-3，），N2（-，）.