Question

在一次數學活動中，愛動腦筋的小華同學設計了一個幾何模型：將一個面積為1的正方形按照圖示進行分割．研究發現，圖中蘊含著一個美妙的數量關系．
（1）請計算

1

3

+

1

32

+

1

33

+

1

34

+

1

35

的值；
（2）觀察幾何模型的結構特征，請猜想

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

的計算結果（用含n的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）通分后即可計算；
（2）利用圖形的對稱性可以得到答案．

解答：解：（1）原式=

81

243

+

27

243

+

9

243

+

3

243

+

1

243

=

121

243

；

（2）由圖形的對稱性可知：2（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）+

1

3n

=1，
所以原式=

1

2

（1-

1

3n

）．

點評：本題考查了圖形的變化類問題，解決此類題目的關鍵是弄懂圖形的意思，并從圖形中找到變化的規律．