Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（-3，-4），線段OB繞原點逆時針旋轉后與x軸的正半軸重合，點B的對應點為點A．
（1）直接寫出點A的坐標，并求出經過A，O，B三點的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BC+OC的值最小？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如果點P是拋物線上的一個動點，且在x軸的上方，當點P運動到什么位置時，△PAB的面積最大？求出此時點P的坐標和△PAB的最大面積．

Answer 1

分析：（1）首先求出OB的長，由旋轉的性質知OB=OA，即可得到A點的坐標，然后用待定系數法即可求得該拋物線的解析式；
（2）由于O、A關于拋物線的對稱軸對稱，若連接AB，則AB與拋物線對稱軸的交點即為所求的C點，可先求出直線AB的解析式，聯立拋物線對稱軸方程即可求得C點的坐標；
（3）可過P作y軸的平行線，交直線AB于M；可設出P點的橫坐標（根據P點的位置可確定其橫坐標的取值范圍），根據拋物線和直線AB的解析式，可表示出P、M的縱坐標，即可得到PM的長，以PM為底，A、B縱坐標差的絕對值為高即可得到△PAB的面積，從而得出關于△PAB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質及自變量的取值范圍，即可求得△PAB的最大面積及對應的P點坐標．

解答：解：（1）點A的坐標（5，0），
設拋物線的解析式為y=ax²+bx，
∴

-4=a(-3)2+b(-3) 0=25a+5b

，
∴a=-

1

6

，b=

5

6

，
∴y=-

1

6

x2+

5

6

x；

（2）由于A、O關于拋物線的對稱軸對稱，連接AB，
則AB與拋物線對稱軸的交點即為所求的C點；
易求得直線AB的解析式為：y=

1

2

x-

5

2

，
拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

=

5

2

，
當x=

5

2

時，y=

1

2

×

5

2

-

5

2

=-

5

4

；
∴點C的坐標為（

5

2

，-

5

4

）；

（3）過P作直線PM∥y軸，交AB于M，
設P（x，-

1

6

x²+

5

6

x），則M（x，

1

2

x-

5

2

），
∴PM=-

1

6

x²+

5

6

x-（

1

2

x-

5

2

）=-

1

6

x²+

1

3

x+

5

2

，
∴△PAB的面積：S=S_△PAM+S_△PBM
=

1

2

PM•（5-

5

2

）+

1

2

PM•（

5

2

+3）
=

1

2

×（-

1

6

x²+

1

3

x+

5

2

）×（5+3）
=-

2

3

x²+

4

3

x+10
=-

2

3

（x-1）²+

32

3

，
所以當x=1，即P（1，

2

3

）時，△PAB的面積最大，且最大值為

32

3

．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、最短路徑問題、函數圖象交點以及圖形面積的求法等重要知識點，能夠將圖形面積問題轉換為二次函數的最值問題是解決（3）題的關鍵．