Question

甲、乙兩同學對關于y、x的拋物線f：y=x²-2mx+2m²+2m進行探討交流時，各得出一個結論．
甲同學：當拋物線f經過原點時，頂點在第三象限平分線所在的直線上；
乙同學：不論m取什么實數值，拋物線f頂點一定不在第四象限．
（1）請你求出拋物線f經過原點時m的值及頂點坐標，并說明甲同學的結論是否正確？
（2）乙同學的結論正確嗎？若你認為正確，請求出當實數m變化時，拋物線f頂點的縱橫坐標之間的函數關系式，并說明頂點不在第四象限的理由；若你認為不正確，求出拋物線f頂點在第四象限時，m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）拋物線f經過原點時，2m²+2m=0 則：m₁=0或 m₂=-1
∴當m=-1時拋物線f表達式為y=x²+2x頂點（-1，-1），
當m=0時拋物線f表達式為y=x²，頂點（0，0）
由于頂點（-1，-1）和頂點（0，0）都在第三象限的平分線所在的直線上，
∴甲同學結論正確，

（2）乙同學的結論正確，
∵拋物線f的解析式y=x²-2mx+2m²+2m可變為y=（x-m）²+m²+2m
∴拋物線f的頂點為（m，m²+2m），若設拋物線f的頂點為（x，y）
則：，
∴拋物線f頂點的縱橫坐標的函數關系式為：y=x²+2x，
又由于拋物線y=x²+2x的頂點為（-1，-1），與x軸的交點為（0，0），（-2，0），
拋物線開口向上．∴拋物線y=x²+2x不可能在第四象限．
即：不論m取什么實數值，拋物線f頂點一定不在第四象限．
分析：（1）根據拋物線f經過原點時，得到2m²+2m=0，解得：m₁=0或 m₂=-1，然后分別求出兩種情況下的頂點坐標即可判斷哪個同學說的正確；
（2）拋物線f的解析式y=x²-2mx+2m²+2m可變為y=（x-m）²+m²+2m得到拋物線f的頂點為（m，m²+2m），若設拋物線f的頂點為（x，y），然后求得拋物線f頂點的縱橫坐標的函數關系式為：y=x²+2x，最后即可得到其不在第四象限．
點評：本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是根據題意從問題中整理出二次函數模型．