Question

某校甲、乙兩同學對關于x的方程：-3（x-1）²+m=0進行探究，其結果：甲同學發現，當m=0時，方程的兩根都為1，當m＞0時，方程有兩個不相等的實數根；乙同學發現，無論m取什么正實數時都不能使方程的兩根之和為零．（
1）請找一個m的值代入方程使方程的兩個根為互不相等的整數，并求這兩個根；
（2）乙同學發現的結論是否正確？試證明之．

Answer 1

分析：（1）由于方程為-3（x-1）²+m=0，可以變為(x-1)2=

m

3

，根據這個形式和方程根的要求即可求解；
（2）乙同學的結論正確．當m＞0，首先求出方程的根，然后求和即可證明是否正確．

解答：解：（1）-3（x-1）²=-m，
即(x-1)2=

m

3

，
如取m=27，

m

3

=9，
代入解得x₁=4，x₂=-2．
（答案不唯一，m為任意完全平方數的3倍）；

（2）乙同學的結論正確．
∵當m＞0，(x-1)2=

m

3

，
∴x=1±

m 3

，
∵1+

m 3

+1-

m 3

=2，（用根與系數的關系做也可）
即：當m為任何正數時都兩根和為2，
∴乙同學結論正確．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，也考查了一元二次方程的解，其中將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．