Question

如圖，已知四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△ABC≌△BAD．
（1）求證：OA=OB；
（2）若∠CAB=35°，求∠CDB的度數．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC≌△BAD，易得∠BAC=∠ABD，再根據等角對等邊可得OA=OB；
（2）先根據△ABC≌△BAD，可得AC=BD，而由（1）知OA=OB，根據等式性質可得OC=OD，那么∠OCD=∠ODC，再結合三角形外角性質可得∠ODC+∠OCD=∠OAB+∠OBA，而∠OAB+∠OBA=2∠CAB=70°，于是∠OCD+∠ODC=70°，從而易求∠CDB．

解答：（1）證明：∵△ABC≌△BAD，
∴∠BAC=∠ABD，
∴OA=OB；
（2）解：∵△ABC≌△BAD，
∴AC=BD，
∵OA=OB，
∴AC-OA=BD-OB，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD=∠OAB+∠OBA，
∠OAB+∠OBA=2∠CAB=70°，
∴∠OCD+∠ODC=70°，
∴∠CDB=35°．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形外角性質，解題的關鍵是證明OC=OD，得出∠OCD=∠ODC．