Question

（2012•香坊區三模）為了美化環境，計劃將一個邊長為4米的正方形草地ABCD分成如圖所示的五塊，其中四邊形EFGH為正方形，若AE的長為x米．正方形EFGH的面積為S平方米．
（1）請直接寫出S與x之間的函數關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
（2）根據（1）中的函數關系式，計算當x為何值時S最小，并求出S最小值．

Answer 1

分析：（1）先由AAS證明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（4-x）米，再根據勾股定理，求出EF²，即可得到S與x之間的函數關系式；
（2）先將（1）中求得的函數關系式運用配方法寫成頂點式，再根據二次函數的性質即可求解．

解答：解：∵四邊形ABCD是邊長為4米的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=4米．
∵四邊形EFGH為正方形，
∴∠FEH=90°，EF=EH．
在△AEF與△DHE中，
∵

∠A=∠D ∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH EF=EH

，
∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AE=DH=x米，AF=DE=（4-x）米，
∴S=EF²=AE²+AF²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16，
即S=2x²-8x+16；

（2）∵S=2x²-8x+16=2（x²-4x）+16=2（x-2）²+8，
∴當x=2時，S有最小值8．
故當x為2時S最小，最小值是8．

點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，難度適中，求出S與x之間的函數關系式是解題的關鍵．