Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，AC是⊙O的弦，PB平分∠ABC交⊙O于P，⊙O的切線PE與BC的延長線相交于E，連接OP與AC相交于F．
（1）判定四邊形PECF的形狀．
（2）當C是的中點時，求梯形OBEP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據PB平分∠ABC，得∠ABP=∠EBP，再由OP=OB，得∠ABP=∠OPB，從而得出∠OPB=∠EBP，則OP∥BE，根據直徑所對的圓周角等于90°，得出∠ACB=90°，從而得出四邊形PECF是矩形；
（2）由C是的中點，可得∠BAC=∠ABP=∠EBP，再根據∠ACB=90°，得∠BAC=∠ABP=∠EBP=30°，由直角三角形的性質求出BC，再求出梯形OBEP的面積．
解答：解：（1）∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵OP=OB，
∴∠ABP=∠OPB，
∴∠OPB=∠EBP，
∴OP∥BE，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECF=90°，
∵PE是切線，
∴∠EPF=90°，
∴∠E=90°，
∴四邊形PECF是矩形；

（2）∵C是的中點，
∴∠BAC=∠ABP=∠EBP，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABP=∠EBP=30°，
∵AB=4，
∴BC=2，
∴AC=6，OF=PE=，
∴CF=3，
∴S_梯形OBEP===．
點評：本題考查了切線的性質、垂徑定理、圓周角定理以及梯形面積的求法，是基礎知識要熟練掌握．