Question

【題目】如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點E，交AD邊于點F，則sin∠FCD＝（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由四邊形ABCD為正方形，得到四個內角為直角，四條邊相等，可得出AD與BC都與半圓相切，利用切線長定理得到FA＝FE，CB＝CE，設正方形的邊長為4a，FA＝FE＝x，由FE+FC表示出EC，由AD﹣AF表示出FD，在直角三角形FDC中，利用勾股定理列出關系式，用a表示出x，進而用a表示出FD與FC，利用銳角三角函數定義即可求出sin∠FCD的值．

解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，

∴AD與BC都與半圓O相切，又CF與半圓相切，

∴AF＝EF，CB＝CE，

設AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AF＝EF＝x，

∴FC＝EF+EC＝4a+x，FD＝AD﹣AF＝4a﹣x，

在Rt△DFC中，由勾股定理得：FC2＝FD2+CD2，

∴（4a+x）2＝（4a﹣x）2+（4a）2，

整理得：x＝a，

∴FC＝4a+x＝5a，FD＝4a﹣x＝3a，

∴在Rt△DFC中，sin∠FCD＝．

故選：B．