Question

如圖，在以O為圓心、半徑為2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°．
（1）當∠CBD等于多少度時，直線BD與⊙O相切？
（2）求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OB，OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得當∠CBD等于30°時，直線BD與⊙O相切；
（2）過點C作CE⊥AB于E，由BC=2，∠ABC=45°，由解直角三角形的知識，即可求得BE與AE的長，繼而求得答案．

解答：解：（1）連接OB，OC，
∵OB=OC=BC=2，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°，
∴當∠CBD=30°時，∠OBD=∠OBC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，則直線BD與⊙O相切；
∴當∠CBD等于30°時，直線BD與⊙O相切；

（2）過點C作CE⊥AB于E，
∵∠ABC=45°，BC=2，
∴BE=CE=BC•sin45°=

2

，
由（1）可得∠A=

1

2

∠BOC=30°，
∴AE=

CE

tan∠A

=

2

3 3

=

6

，
∴AB=AE+BE=

6

+

2

．

點評：此題考查了切線的性質、等邊三角形的判定與性質、圓周角定理以及解直角三角形的知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．