Question

已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60°，連接CF．
（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形AFED是菱形，∴AF=AD。
∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF。
∴∠BAC－∠DAC=∠DAF－∠DAC，即∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD="AF" ，
∴△BAD≌△CAF（SAS）�！郈F=BD。
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC。
即①BD=CF，②AC=CF+CD。
（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數量關系是AC=CF－CD。理由如下：
由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中，AC=AB，∠BAD=∠CAF ，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
∴CF－CD=BD－CD=BC=AC，即AC=CF－CD。
補全圖形如下，AC、CF、CD之間的數量關系為AC=CD－CF。

解析