Question

隊形設計：為迎接外國使節來訪，儀仗隊某小組進行隊列造型設計，首先組長讓全體隊員排成一個方陣（即行與列的人數一樣多的隊形），人數正好夠，然后組長又繼續組織了幾個隊形的變化，最后一個造型需要5人一組，手拿鮮花變換隊形．在討論分組方案時，一組員說現在的隊員人數按“5人一組”分將多出3人．同學們，你們說一說這可能嗎？為什么？

Answer 1

分析：由全體隊員可排成一個方陣，可得總人數是一個完全平方數，所以設每行m人，則總人數為m²人，又由最后一個造型需要5人一組，可考慮m為5n，5n+1，5n+2，5n+3，5n+4中的某種情形，這里n為正整數，然后分別分析這幾種形式，看看除以5所得的余數會不會是3即可．

解答：解：不可能．
理由：因為全體隊員可排成一個方陣，
所以總人數是一個完全平方數，
設每行m人，則總人數為m²人，
根據變化隊形時按5人分組，可考慮m為5n，5n+1，5n+2，5n+3，5n+4中的某種情形，這里n為正整數，
從而全體人數m²可能是
（5n）²=5×（5n²）；
（5n+1）²=25n²+10n+1=5（5n²+2n）+1；
（5n+2）²=25n²+20n+4=5（5n²+4n）+4；
（5n+3）²=25n²+30n+9=5（5n²+6n+1）+4；
（5n+4）²=25n²+40n+16=5（5n²+8n+3）+1．
由此可見，不論哪一種情形，總人數按每組5人分組所多出的人數只可能是1或4，不可能多3人．
故是不可能的．

點評：此題考查了完全平方數的應用．此題難度較大，解題的關鍵是由全體隊員可排成一個方陣，得到總人數是一個完全平方數，然后由最后一個造型需要5人一組，可考慮m為5n，5n+1，5n+2，5n+3，5n+4中的某種情形，再利用分類討論思想求解即可．