Question

有一長方形紙片ABCD，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF．
（1）請說明△DEF是等腰三角形；
（2）若AD=3，AB=9，求BE的長；
（3）若連接BF，試說明四邊形DEBF是菱形．

Answer 1

解：（1）∵長方形ABCD折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，如圖，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵長方形ABCD折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，
∴ED=EB，
設BE=x，則DE=x，AE=AB-x=9-x，
在Rt△ADE中，AD=3，
∵AD²+AE²=DE²，
∴3²+（9-x）²=x²，解得x=5，
∴BE=5；

（3）如圖，∵△DEF是等腰三角形，
∴DE=DF，
而DE=BE，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
而ED=EB，
∴四邊形DEBF是菱形．
分析：（1）根據折疊的性質得∠1=∠2，根據矩形的性質得AB∥DC，則∠1=∠3，所以∠2=∠3，然后根據等腰三角形的判定定理得到△DEF是等腰三角形；
（2）根據折疊的性質得到ED=EB，設BE=x，則DE=x，AE=AB-x=9-x，在Rt△ADE中利用勾股定理可求出x的值；
（3）先利用（1）的結論得到DE=DF，而DE=BE，則可得到BE=DF，加上BE∥DF，則可先判斷四邊形BEDF為平行四邊形，然后根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形得到四邊形DEBF是菱形．
點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質、等腰三角形的判定與性質以及菱形的判定方法．