Question

我市某鎮的一種特產由于運輸原因，長期只能在當地銷售．當地政府對該特產的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P=（萬元）．當地政府擬在“十二•五”規劃中加快開發該特產的銷售，其規劃方案為：在規劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤（萬元）．
（1）若不進行開發，求5年所獲利潤的最大值是多少？
（2）若按規劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根據（1）、（2），該方案是否具有實施價值？

Answer 1

【答案】分析：（1）由可獲得利潤P=-（x-60）²+41（萬元），即可知當x=60時，P最大，最大值為41，繼而求得5年所獲利潤的最大值；
（2）首先求得前兩年的獲利最大值，注意前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x的增大而增大，所以x=50時，P值最大；然后后三年：設每年獲利y，設當地投資額為a，則外地投資額為100-a，即可得函數y=P+Q=[-（a-60）²+41]+[-a²+a+160]，整理求解即可求得最大值，則可求得按規劃實施，5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值；
（3）比較可知，該方案是具有極大的實施價值．
解答：解：（1）∵每投入x萬元，可獲得利潤P=-（x-60）²+41（萬元），
∴當x=60時，所獲利潤最大，最大值為41萬元，
∴若不進行開發，5年所獲利潤的最大值是：41×5=205（萬元）；

（2）前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x的增大而增大，
所以x=50時，P值最大，即這兩年的獲利最大為：2×[-（50-60）²+41]=80（萬元），
后三年：設每年獲利y，設當地投資額為a，則外地投資額為100-a，
∴Q=-[100-（100-a）]²+[100-（100-a）]+160=-a²+a+160，
∴y=P+Q=[-（a-60）²+41]+[-a²+a+160]=-a²+60a+165=-（a-30）²+1065，
∴當a=30時，y最大且為1065，
∴這三年的獲利最大為1065×3=3195（萬元），
∴5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是：80+3195-50×2=3175（萬元）．

（3）有很大的實施價值．
規劃后5年總利潤為3175萬元，不實施規劃方案僅為205萬元，故具有很大的實施價值．
點評：此題考查了二次函數的實際應用問題．解題的關鍵是理解題意，找到合適函數取得最大值，是解此題的關鍵，還要注意后三年的最大值的求解方法．