Question

（2013•山西模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c交y軸于A（0，3），交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側）．B、C兩點坐標分別為（2，0），（6，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；
（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線交y軸于A（0，3），交x軸于B、C兩點坐標分別為（2，0），（6，0），把以上三點的坐標分別代入拋物線y=ax²+bx+c，求出a，b，c的值即可求出此二次函數的解析式；
（2）根據拋物線的解析式，易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可；
（3）過P作y軸的垂線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設出P點的坐標，進而可表示出P、Q的縱坐標，也就得出了PQ的長；然后根據三角形面積的計算方法，可得出關于△PAC的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出△PAC的最大面積及對應的P點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c交y軸于A（0，3），交x軸于B、C兩點坐標分別為（2，0），（6，0），
∴

c=3 0=4a+2b+c 0=36a+6b+c

，
解得：

a= 1 4 b=-2 c=3

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-2x+3；

（2）相交．
證明：連接CE，則CE⊥BD，
∵拋物線交x軸于B、C兩點坐標分別為（2，0），（6，0）．
∴對稱軸x=

2+6

2

=4，
∴OB=2，AB=

2 2+3 2

=

13

，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴

AB

BC

=

OB

CE

，
即

13

4

=

2

CE

，
解得CE=

8 13

13

，
∵

8 13

13

＞2，
∴拋物線的對稱軸l與⊙C相交；

（3）如圖，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q；
可求出AC的解析式為y=-

1

2

x+3；
設P點的坐標為（m，

1

4

m²-2m+3），
則Q點的坐標為（m，-

1

2

m+3）；
∴PQ=-

1

2

m+3-（

1

4

m²-2m+3）=-

1

4

m²+

3

2

m，
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=

1

2

×（-

1

4

m²+

3

2

m）×6，
=-

3

4

（m-3）²+

27

4

，
∴當m=3時，△PAC的面積最大為

27

4

，
此時，P點的坐標為（3，-

3

4

）．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、直線與圓的位置關系、圖形面積的求法等知識．