Question

（2013•山西模擬）操作與證明：如圖1，把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN．
（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；
猜想與發(fā)現(xiàn)：
（2）在（1）的條件下，請判斷MD、MN的數(shù)量關系和位置關系，得出結論．
結論1：DM、MN的數(shù)量關系是

相等

；
結論2：DM、MN的位置關系是

垂直

；
拓展與探究：
（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF，繼而證明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，證明出△AEF是等腰三角形；
（2）DM、MN的數(shù)量關系是相等，位置關系式垂直；
（3）連接AE，交MD于點G，標記出各個角，首先證明出MN∥AE，MN=

1

2

AE，再有（1）的結論以及角角之間的數(shù)量關系得到∠DMN=∠DGE=90°．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴CE=CF，
∴BC-CE=CD-CF，
即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）解：相等，垂直；
證明：∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線，
∴AF=2DM，
∵MN是△AEF的中位線，
∴AE=2MN，
∵AE=AF，
∴DM=MN；
∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，
∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，
∴∠DMN=∠BAD=90°，
∴DM⊥MN；

（3）（2）中的兩個結論還成立，
證明：連接AE，交MD于點G，
∵點M為AF的中點，點N為EF的中點，
∴MN∥AE，MN=

1

2

AE，
由（1）同理可證，
AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，
又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
在Rt△ADF中，
∵點M為AF的中點，
∴DM=

1

2

AF，
∴DM=MN，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DF，
∴∠1=∠3，
同理可證：∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
∵DM=AM，
∴∠MAD=∠5，
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，
∵MN∥AE，
∴∠DMN=∠DGE=90°，
∴DM⊥MN．

點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解答本題的關鍵是利用好各小題之間的聯(lián)系，此題難度不大，但是角角之間的數(shù)量關系有點復雜，請同學們解答的時候注意．