Question

（2003•南昌）某班為了從甲乙兩同學中選出班長，進行了一次演講答辯與民主測評，A、B、C、D、E五位老師作為評委，對“演講答辯”情況進行評價，全班50位同學參與民主測評，結果如下表：

規定：演講答辯得分按“去掉一個最高分和一個最低分再算平均分”的方法確定；民主測評得分=“好”票數×2分+“較好”票數×1分+“一般”票數×0分；綜合得分=演講答辯得分×（1-a）+民主測評得分×a（0.5≤a≤0.8）．
（1）當a=0.6時，甲的綜合得分是

89

分；乙的綜合得分

88.4

分．
（2）甲的綜合得分關于a的函數表達式為

92-5a

；
乙的綜合得分關于a的函數表達式為

89-a

．
（3）倘若讓甲做班長，請你確定a的取值范圍為

0.5≤a＜0.75

．

Answer 1

分析：（1）根據演講答辯得分按“去掉一個最高分和一個最低分再算平均分”的方法分別計算每人的平均演講答辯得分；
（2）根據民主測評得分=“好”票數×2分+“較好”票數×1分+“一般”票數×0分；綜合得分=演講答辯得分×（1-a）+民主測評得分×a分別計算每人的民主測評得分；然后求出兩人的綜合得分關于a的函數表達式；
（3）讓評委的權重不大于民主測評的權重，則a應大于0.5，由于甲的答辯得分和甲的民主測評分都比乙的高，所以應有：92-5a＞89-a，求解即可．

解答：解：（1）甲的答辯得分=（90+92+94）÷3=92分，甲的民主測評分=40×2+7=87分，
甲的綜合得分=92×0.4+87×0.6=89分；
乙的答辯得分=（89+87+91）÷3=89分，乙的民主測評分=42×2+4=88分，
乙的綜合得分=89×0.4+88×0.6=88.4分．

（2）甲的綜合得分關于a的函數表達式=92×（1-a）+87×a=92-5a；
乙的綜合得分關于a的函數表達式=89×（1-a）+88×a=89-a．

（3）讓評委的權重不大于民主測評的權重，則a應大于0.5，由于甲的答辯得分和甲的民主測評分都比乙的高，所以應有：92-5a＞89-a，解得，a＜0.75，
∴a的取值范圍為0.5≤a＜0.75．

點評：本題利用了平均數和加權平均數的概念及不等式的知識求解．