Question

【題目】在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP＜CP），∠APB＝90°．將△ADP沿AP翻折得到△AD'P，PD'的延長線交邊AB于點M，過點B作BN∥MP交DC于點N，連接AC，分別交PM，PB于點E，F．現有以下結論：

①連接DD'，則AP垂直平分DD'；

②四邊形PMBN是菱形；

③AD2＝DPPC；

④若AD＝2DP，則；

其中正確的結論是_____（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據折疊的性質得出AP垂直平分DD'，判斷出①正確．

過點P作PG⊥AB于點G，易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，所以AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC，易證△APG∽△PBG，所以PG2＝AGGB，即AD2＝DPPC判斷出③正確；

DP∥AB，所以∠DPA＝∠PAM，由題意可知：∠DPA＝∠APM，所以∠PAM＝∠APM，由于∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB，從而可知PM＝MB＝AM，又易證四邊形PMBN是平行四邊形，所以四邊形PMBN是菱形；判斷出②正確；

由于，可設DP＝1，AD＝2，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝2，從而求出GB＝PC＝4，AB＝AG+GB＝5，由于CP∥AB，從而可證△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，從而可得 ，，從而可求出EF＝AF﹣AE＝AC﹣＝AC，從而可得，判斷出④錯誤．

解：∵將△ADP沿AP翻折得到△AD'P，

∴AP垂直平分DD'，故①正確；

解法一：過點P作PG⊥AB于點G，

∴易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，

∴AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC

∵∠APB＝90°，

∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，

∴∠APG＝∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴，

∴PG2＝AGGB，

即AD2＝DPPC；

解法二：易證：△ADP∽△PCB，

∴，

由于AD＝CB，

∴AD2＝DPPC；故③正確；

∵DP∥AB，

∴∠DPA＝∠PAM，

由題意可知：∠DPA＝∠APM，

∴∠PAM＝∠APM，

∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，

即∠ABP＝∠MPB

∴AM＝PM，PM＝MB，

∴PM＝MB，

又易證四邊形PMBN是平行四邊形，

∴四邊形PMBN是菱形；故②正確；

由于，

可設DP＝1，AD＝2，

由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝2，

∵PG2＝AGGB，

∴4＝1GB，

∴GB＝PC＝4，

AB＝AG+GB＝5，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴

又易證：△PCE∽△MAE，AM＝AB＝

∴，

∴，

∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣＝AC

∴，故④錯誤，

即：正確的有① ② ③，

故答案為：① ② ③．