Question

已知，如圖BE，CF是△ABC的邊AC和AB上的高，在BE上截取BP=AC，在CF的延長線上截取CQ=AB，求證：AP⊥AQ．

Answer 1

證明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠ABE=∠ACQ=90°-∠BAC．
∵BP=AC，CQ=AB，
在△APB和△QAC中，
，
∴△APB≌△QAC（SAS）．
∴∠BAP=∠CQA．
∵∠CQA+∠QAF=90°，
∴∠BAP+∠QAF=90°．
即AP⊥AQ．
分析：先證明△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通過等量代換得∠BAP+∠QAF=90°即可得AP⊥AQ．
點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，要熟練利用三角形全等的性質(zhì)來證明角相等．