Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△MDB的一邊DB在AB上，邊MD與AC交于點N，以BD為直徑的⊙O與邊AC恰相切于點N，與MB交于點E．
（1）求證：∠AND=∠MBD；
（2）若BC=6，AD=4，求的長．（結果保留π）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接ON，BN，利用圓的切線性質(zhì)和圓周角定理證明∠AND=∠NBA，∠MNC=∠MBN，又因為∠AND=∠MNC，所以：∠AND=∠MBD；
（2）由已知條件可證明ON∥BM，所以△ANO∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出圓的半徑，再利用弧長公式即可求出弧DN的長．
解答：（1）證明：連接ON，BN，
∵AC是圓的切線，
∴AN⊥ON，
∴∠AND+∠DNO=90°，
∵BD為⊙O直徑，
∴∠DNB=90°，
∴∠NBD+∠NDB=90°，
∵OD=ON，
∴∠DNO=∠NDO，
∴∠NDB=∠NBD，
∵∠MNB+∠CNB=90°，∠CBN+∠CNB=90°，
∴∠MNC=∠CBN，
∵∠AND=∠MNC，
∴∠AND=∠MBD；

（2）解：設圓的半徑為r，
∵∠ANO=90°，∠ACB=90°，
∴NO∥BC，
∴△ANO∽△ACB，
∴，
∴，
∴r=4，
∴AO=8，
∴NO=AO，
∴∠A=30°，
∴∠AON=60°，
∴弧DN的長度為：=．
點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，弧長公式以及相似三角形的判定定理和性質(zhì)的運用，有一定的綜合性．