Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的三個頂點A、B、D在⊙O上，BC經過圓心O，且交⊙O于點E，∠A＝120°，∠C＝30°．

（1）求證：CD是⊙O的切線．

（2）若CD＝6，求BC的長．

（3）若⊙O的半徑為4，則四邊形ABCD的最大面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）連接、，根據圓內接四邊形的性質得到，求得，又點在上，于是得到結論；

（2）由（1）知：又，設為，則為，根據勾股定理即可得到結論；

（3）連接BD，OA，根據已知條件推出當四邊形ABOD的面積最大時，四邊形ABCD的面積最大，當OA⊥BD時，四邊形ABOD的面積最大，根據三角形和菱形的面積公式即可得到結論．

解：（1）證明：連接、，

四邊形為圓內接四邊形，

，

，

，又點在上，

是的切線；

（2）由（1）知：又，

，

設為，則為，

在中，，

即，

，

又，

，

；

（3）連接，，

，

，

，

，，，

，

，

，

當四邊形的面積最大時，四邊形的面積最大，

當時，四邊形的面積最大，

四邊形的最大面積，

故答案為：．