Question

25、如圖，已知△ABC中，D是AC邊上一點，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求證：
（1）AD=BD=BC；
（2）點D是線段AC的黃金分割點．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的內角和是180度，和題中給出的角的度數，可求得各角的度數，從而得出AD=BD=BC．
（2）利用三角形的相似來證明點D是線段AC的黃金分割點．

解答：證明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，
∴△ADB、△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．

（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD²=AC•DC，
∴點D是線段AC的黃金分割點．

點評：（1）考查了等腰三角形的判定；
（2）考查了學生黃金分割點的證明，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（$frac{sqrt{5}-1}{2}$）叫做黃金比．