Question

在遠古時代，我們的祖先就發(fā)現并證明了在直角三角形中斜邊上中線等于斜邊的一半，今天的我們可以直接運用．現有一張長方形紙片ABCD，在AD邊上任取一點P（不與點A、點D重合），以BP所在直線為折痕，將長方形如圖翻折，使A點翻到E點，再將PD翻到與PE所在直線位置重合，得到折痕PG，PG與DC邊交于點G，點D翻到點F處，如圖，連接BG，取BG的中點H，連接HE、HF，試猜想線段HE與HF之間的大小關系，并說明理由．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：如圖，延長FH交BE于點M．構建全等三角形△BMH≌△GFH，然后運用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”進行證明結論．

解答：解：HE=HF．理由如下：
如圖，延長FH交BE于點M．
根據折疊的性質知，∠PEB=∠A=90°，∠PFG=∠D=90°，
又∵∠PEB+∠BEF=180°
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠PFG=90°，
∴BE∥FG，
∴∠MBH=∠HGF，
∵H為BG的中點，
∴BH=GH，
∴在△BMH與△GFH中，

∠MBH=∠HGF BH=GH ∠MHB=∠FHG(對頂角相等)

，
∴△BMH≌△GFH（ASA），
∴MH=FH=

1

2

FM．
∵∠MEF=90°，
∴EH=

1

2

FM，
∴HE=HF．

點評：本題綜合考查了圖形變換的性質，邏輯推理能力以及探究能力．會熟練運用全等三角形的判定與性質和直角形斜邊上的中線解題是基本的數學能力．