Question

如圖所示，已知直線y＝kx＋m與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線y＝－x²＋bx＋c經過A、C兩點，點B是拋物線與x軸的另一個交點，當時，y取最大值．

(1)求拋物線和直線的解析式；

(2)設點P是直線AC上一點，且S_△ABP：S_△BPC＝1∶3，求點P的坐標；

(3)若直線與(1)中所求的拋物線交于M、N兩點，問：

①是否存在a的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

②猜想當∠MON＞90°時，a的取值范圍(不寫過程，直接寫結論)．

(參考公式：在平面直角坐標系中，若M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則M，N兩點間的距離為)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意得 　　解得 　　∴拋物線的解析式為 　　∴， 　　∴直線的解析式為(2分) 　　(2)分兩種情況： 　�、冱c在線段上時，過作軸，垂足為 　　∵ 　　∴ 　　∵∥ 　　∴ 　　∴， 　　∴ 　　∴ 　�、邳c在線段的延長線上時，過作軸，垂足為 　　∵ 　　∴ 　　∵∥ 　　∴ 　　∴， 　　∴ 　　∴ 　　綜上所述，或(4分) 　　(3)①方法1：假設存在的值，使直線與(1)中所求的拋物線交于、兩點(在的左側)，使得 　　由 　　得 　　∴， 　　又， 　　∴ 　　 　　 　　∵ 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　即 　　∴或 　　∴存在或使得(3分) 　　方法2：假設存在的值，使直線與(1)中所求的拋物線交于、兩點(在軸上側)，使得，如圖，過作于，過作于 　　可證明 　　∴ 　　即 　　∴ 　　即 　　以下過程同上 　�、诋�時，(1分)