Question

【題目】如圖，拋物線的頂點D的坐標為（1，﹣4），與y軸交于點C（0，﹣3），與x軸交于A、B兩點．

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）在拋物線上存在點P（不與點D重合），使得S△PAB=S△ABD，請求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）點P的坐標為（1+2，4）或（1﹣2，4）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的頂點D的坐標為（1，﹣4），可設拋物線的函數關系式為y=a（x﹣1）2﹣4，再將C（0，﹣3）代入求解即可；

（2）由S△PAB=S△ABD，根據三角形面積公式可得點P到線段AB的距離一定等于頂點D到AB的距離，而D的坐標為（1，﹣4），所以點P的縱坐標一定為4．將y=4代入（1）中所求解析式，得到x2﹣2x﹣3=4，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標．

解：（1）∵拋物線的頂點D的坐標為（1，﹣4），

∴設拋物線的函數關系式為y=a（x﹣1）2﹣4，

又∵拋物線過點C（0，﹣3），

∴﹣3=a（0﹣1）2﹣4，

解得a=1，

∴拋物線的函數關系式為y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵S△PAB=S△ABD，且點P在拋物線上，

∴點P到線段AB的距離一定等于頂點D到AB的距離，

∴點P的縱坐標一定為4．

令y=4，則x2﹣2x﹣3=4，

解得x1=1+2，x2=1﹣2．

∴點P的坐標為（1+2，4）或（1﹣2，4）．