Question

如圖1，已知正方形ABCD的邊長為，點M是AD的中點，P是線段MD上的一動點（P不與M，D重合），以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線交BC于點F，切點為E．
（1）除正方形ABCD的四邊和⊙O中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段（不能添加字母和輔助線）；
（2）求四邊形CDPF的周長；
（3）延長CD，FP相交于點G，如圖2所示．是否存在點P，使BF•FG=CF•OF？如果存在，試求此時AP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線長定理得到FB=FE，PE=PA；
（2）根據切線長定理，發現：該四邊形的周長等于正方形的三邊之和；
（3）根據若要滿足結論，則∠BFO=∠GFC，根據切線長定理得∠BFO=∠EFO，從而得到這三個角應是60°，然后結合已知的正方形的邊長，也是圓的直徑，利用30°的直角三角形的知識進行計算．
解答：解：（1）FB=FE，PE=PA．

（2）四邊形CDPF的周長為
FC+CD+DP+PE+EF=FC+CD+DP+PA+BF
=BF+FC+CD+DP+PA
=BC+CD+DA
=×3=．

（3）存在．
∵BF•FG=CF•OF
∴
∵cos∠OFB=，cos∠GFC=
∴∠OFB=∠GFC
∵∠OFB=∠OFE
∴∠OFE=∠OFB=∠GFC=60°
∴在Rt△OFB中，FE=FB==1
∴在Rt△GFC中
∵CG=CF•tan∠GFC=CF•tan60°=（2-1）tan60°=6-
∴DG=CG-CD=6-3
∴DP=DG•tan∠PGD=DG•tan30°=2-3
∴AP=AD-DP=2-（2-3）=3．
點評：此題綜合運用了切割線定理直角三角形的性質進行求解．