Question

如圖1，已知正方形OABC的邊長為4，等腰直角三角板OEF的直角邊OE、OF分別在OA、OC上，且OE=2．將三角板OEF繞點O逆時針旋轉至OE₁F₁的位置，旋轉角為α，連接CF₁、AE₁．
（1）請在圖2中畫出三夾板OEF逆時針旋轉90°時的圖形，并直接判斷此時△OAE₁與△OCF₁是否全等．
（2）當0°＜α＜90°時，∠OAE₁與∠OCF₁是否總有上述關系并加以證明；
（3）若三角板OEF繞O點逆時針旋轉一周，是否存在某一位置，使得OE₁∥CF₁？若存在，請求出旋轉角α的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質，延長EO至F₁，使OF₁=OF，又旋轉后點E₁與點F重合，所以，連接CF₁、AF即可得解，兩三角形可以利用“邊角邊”證明全等；
（2）根據正方形的性質可得OA=OC，根據旋轉的性質可得△OEF≌△OE₁F₁，再根據全等三角形對應邊相等可得OE₁=OF₁，再根據同角的余角相等可得∠AOE₁=∠COF₁，然后利用“邊角邊”證明即可；
（3）分①點F₁在OC左邊時，根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠OF₁C=90°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠OCF₁=30°，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠COF₁=60°，即可得解；②點F₁在OC右邊時，求解方法同①．

解答：解：（1）如圖，△OAE₁≌△OCF₁；

（2）△OAE₁≌△OCF₁總成立，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC，
由旋轉性質得，△OEF≌△OE₁F₁，
∵OE=OF，
∴OE₁=OF₁，
又∵∠AOE₁+∠COE₁=90°，
∠COF₁+∠COE₁=90°，
∴∠AOE₁=∠COF₁，
在△OAE₁≌△OCF₁中，

OE1=OF1 ∠AOE1=∠COF1 OC=OA

，
∴△OAE₁≌△OCF₁（SAS）；

（3）存在當α=60°或α=300°時，OE₁∥CF₁．
如圖①，∵△OE₁F₁為等腰直角三角形，
∴∠E₁OF₁=90°，OE₁=OF₁=2，
∵OE₁∥CF₁，
∴∠OF₁C=90°，
∴△OCF₁為Rt△，
∵OF₁=2，OC=4，
∴∠OCF₁=30°，
∴∠COF₁=60°，
當α=60°時，OE₁∥CF₁，
如圖②，α=300°時方法同（1）．

點評：本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定，正方形的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，綜合性較強，難度較大，作出圖形更形象直觀．