Question

（2002•荊州）如圖，在平面直角坐標系中，⊙M與x軸相切于A點，與y軸相交于B、C兩點，且A、B兩點的坐標分別為（2，0）、（0，1）．
（1）求點C的坐標和⊙M的半徑；
（2）設點P在x軸的負半軸上，連接PB并延長，交⊙M于點D，若△ABD與△ABO相似，求PB•PD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知OA，OB的長度，又OA是⊙O的切線，根據切割線定理求出OC的長，從而確定點C的坐標．過點M作MN⊥BC于N，則ON=OB+BC，求出⊙M的半徑．
（2）若△ABD與△ABO相似，又OA是⊙O的切線，則當點P在x軸的負半軸上，連接PB并延長，交⊙M于點D時，必有∠OAB=∠D，因此，△ABD與△ABO相似有兩種情況．而△ABO是直角三角形，故△ABD中，可能∠BAD=90°，可能∠ABD=90°，無論哪種情況，都可以根據相似三角形的性質求出PB•PD的值．
解答：解：（1）A、B兩點的坐標分別為（2，0）、（0，1），
∴OA=2，OB=1，
又⊙M與x軸相切于A點，與y軸相交于B、C兩點，
∴OA²=OB•OC，∴OC=4，
∴點C的坐標為（0，4）．
連接MA，過點M作MN⊥BC于N，則四邊形OAMN是矩形，
∴MA=ON=OB+BC=，
∴⊙M的半徑為．


（2）若△ABD與△ABO相似，又OA是⊙O的切線，則當點P在x軸的負半軸上，
連接PB并延長，交⊙M于點D時，必有∠OAB=∠D，
因此，△ABD與△ABO相似有兩種情況．而△ABO是直角三角形，
故△ABD中，可能∠BAD=90°，可能∠ABD=90°．
①如果∠BAD=90°，則PD必過圓心，連接AD、AM，則AM⊥x軸，
∴OB∥AM，
∴PO：PA=OB：AM，
設OP=x，有x：（x+2）=2：5，
∴x=，∴PA=PO+OA=，
∴PB•PD=PA²=；
②如果∠ABD=90°；連接AD，則AD必過圓心且AD⊥x軸，
∴OB∥AD，∴OP：PA=OB：AD，
設OP=y，有y：（y+2）=1：5，∴y=，
∴PA=PO+OA=，
∴PB•PD=PA²=，
∴PB•PD的值是或者．
點評：（1）涉及圓中求半徑的問題，常見輔助線是過圓心作弦的垂線．
（2）本題綜合考查了垂徑定理和相似三角形的性質，本問中判別△ABD與△ABO相似有兩種情況是解題的關鍵．