Question

已知AB是半徑為6的⊙O的直徑，點C是⊙O的半徑OA上的動點，PC⊥AB交⊙O于E，交OA于C，PC=10，PT是⊙O的切線（切點T在上）．

（1）如圖①當點C與點O重合時，求PT的長；
（2）如圖②當點C與點A重合時，求AT的長；
（3）如圖③設AC=x，PT=y，試求y關于x的函數關系式，并寫出x、y的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OT，根據勾股定理即可求出．
（2）可通過構建直角三角形來求解，連接OP，OT，那么OT⊥PT，由于PT、PA都是圓O的切線，根據切線長定理，PA=PT，OP是∠APT的平分線，那么OP垂直平分AT、AT=2AQ，那么求AT的關鍵就是求AQ的長，直角三角形PAO中，有PA、OA的長，可求出OP的長，然后根據面積法來求出AQ的長．
（3）可構建直角三角形來求解，連接PO，OT，那么PO是直角三角形PCO和PTO的公共邊，那么利用好著條公共邊是解題的關鍵．
直角三角形POC中，OC可以用x表示出來，PC=10，那么可用x表示出PO²，直角三角形PTO中，PT=y，有半徑的長，因此可用y表示出PO²，那么整合這兩個關于PO²的式子即可得出關于x、y的函數式．
解答：解：（1）連接OT，則OT⊥PT，
在直角三角形OPT中，PT==8，

（2）連接PO，OT，
∵PA⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴PA是⊙O的切線，
又PT是⊙O的切線，
∴PA=PT，∠PAO=∠PTO=90°，
又OA=OT，
∴Rt△PAO≌Rt△PTO；
∵PA，PT都是⊙O的切線，
∴PO是∠ART的平分線，
∴PO⊥AT，設PO與AT交于Q，則AT=2AQ；
在Rt△PAO中，PA=10，AO=6，
∴PO=2；
∵S_△PAO=AP•AO=PO•AQ，
∴AQ=，
∴AT=．

（3）連接PO，OT則OC=6-x，
∴PO²=10²+（6-x）²，
PT²=PO²-OT²=10²+（6-x）²-6²=x²-12x+100，
∴y=，
0≤x≤6，8≤y≤10．

點評：本題主要考查了切線的性質．連接圓心和切點，運用好直角三角形求解是本題解題的關鍵．