Question

直線y=-

4

3

x+4與x，y軸交于A，B兩點，在坐標平面上有一點P，⊙P的半徑為6．
（1）求A，B兩點坐標．
（2）若點P在直線y=-

4

3

x+4上，且與x軸相切，求點P坐標．
（3）若⊙P與x軸和直線y=-

4

3

x+4都相切，求點P坐標．

Answer 1

分析：（1）已知直線解析式，易求A，B點坐標；
（2）由題意知點P在坐標軸上，說的很模糊，所以要分類討論，再根據圓的性質及相切的條件，又知道圓的半徑，從而求出每種情況的P點坐標；
（3）分P有四種情況，根據勾股定理求得P到選、軸的距離即可求得P的橫坐標，則P的坐標可以求得．

解答：解：（1）當x=0時，y=4，
當y=0時，-

4

3

x+4=0，解得x=3．
故A（3，0），B（0，4）；

（2）在y=-

4

3

x+4中當y=6時，-

4

3

x+4=6，解得：x=-

3

2

，則P的坐標是：（-

3

2

，6）；
在y=-

4

3

x+4中當y=-6時，-

4

3

x+4=-6，解得：x=

15

2

，則P的坐標是（

15

2

，-6）；

（3）當P的位置如①時，
連接P與切點E，F，則PE⊥x軸，PF⊥AB，作PG∥x軸，交AB于點G，作GH⊥x軸于H．則PE=PF=GH=6，
在直角△AHG和直角△PFG中，

GH

AH

=

PF

FG

=

4

3

，
∴AH=GF=

9

2

，
∴OH=AH-OA=

9

2

-3=

3

2

，即H的坐標是（-

3

2

，0），
PG=

PF2+FG2

=

62+( 9 2 )2

=

15

2

，
∴OE=OH+EH=OH+PG=

3

2

+

15

2

=9，則P的坐標是：（-9，6）；

當P的位置如圖②所示時，同①可以得到：AH=GF=

9

2

，PG=

PF2+FG2

=

62+( 9 2 )2

=

15

2

，
∴OH=AH-OA=

9

2

-3=

3

2

，
∴OE=PG-OH=

15

2

-

3

2

=6，
則P的坐標是（6，6）；

當P的位置如圖③時，同①可得：AH=

9

2

，PG=

15

2

則OH=OA+AH=3+

9

2

=

15

2

，
∴OE=OH-EH=OH-PG=

15

2

-

15

2

=0，則P的坐標是（0，-6）；

當P如圖④所示時，
AH=

9

2

，GP=HE=

15

2

，
∴OE=OA+AH+HE=3+

9

2

+

15

2

=15，
則P的坐標是（15，-6）．
總之，P的坐標是：（-9，6）或（6，6）或（0，-6）或（15，-6）．

點評：本題考查了一次函數與圓的切線的性質，勾股定理的綜合應用，正確分情況討論是關鍵．