Question

如圖，將一把直角三角板的直角頂點放置于原點O，兩直角邊與拋物線交于M、N兩點，設M、N的橫坐標分別為m、n（m﹥0，n﹤0）；請解答下列問題：

1.當m=1時，n=__ ▲  ； 當m=2時，n=__ ▲  試猜想m與n滿足的關系，并證明你猜想的結論。

2.連接M、N，若△OMN的面積為S，求S關于m的函數關系式。

3.當三角板繞點O旋轉到某一位置時，恰好使得∠MNO=30°，此時過M作MA⊥x軸，垂足為A，求出△OMA的面積

4.當m=2時，拋物線上是否存在一點P使M、N、O、P四點構成梯形，若存在，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

 

1.當m=1時，n= -1；（1分） 當m=2時，n=；（1分）

 m與n滿足的關系：    （1分）

證明：作NB⊥x軸，垂足為B，則△OMA∽△NOB；∵M（）N  ∴

整理得：    （1分）

2.S=====    （2分）

（注：還有其他方法）

3.∵∠MNO=30°，∴   又∵△OMA∽△NOB，∴    （1分）

將代入得               （1分）

∴△OMA的面積===       （1分）

4.       （3分）

解析:(1)作NB⊥x軸，垂足為B，利用△OMA∽△NOB，推出；

（2）根據三角形的面積公式及（1）的結論得出S關于m的函數關系式；

（3）利用△OMA∽△NOB算出的值，然后根據三角形面積公式得出結果；

（4）P點有三種可能，PO∥MN,PN∥OM,PM∥NO，利用平行線計算出P點的坐標.