Question

已知：如圖，⊙O的直徑AD=2，，∠BAE=90度．
（1）求△CAD的面積；
（2）如果在這個圓形區域中，隨機確定一個點P，那么點P落在四邊形ABCD區域的概率是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由直徑對的圓周角是90°，得∠ACD=∠BAE=90°，由得∠BAC=∠CAD=∠DAE，
所以∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°，在Rt△ACD中，AD=2，CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=，即S_△ACD=AC×CD=．
（2）連BD，作BF⊥AC，垂足為F，求得四邊形ABCD的面積和圓的面積的比，根據概率的意義求得P點落在四邊形ABCD區域的概率．
解答：解：（1）∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ACD=∠BAE=90°．
∵，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE．
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°．
∵在Rt△ACD中，AD=2，CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=．
∴S_△ACD=AC×CD=．

（2）解法1：連BD，
∵∠ABD=90°，∠BAD=60°，
∴∠BDA=∠BCA=30°，
∴BA=BC．
作BF⊥AC，垂足為F，
∴AF=AC=，
∴BF=AFtan30°=，
∴S_△ABC=AC×BF=，
∴S_ABCD=．
∵S_⊙O=π，
∴P點落在四邊形ABCD區域的概率==．

（2）解法2：作CM⊥AD，垂足為M．
∵∠BCA=∠CAD（證明過程見解法1），
∴BC∥AD．
∴四邊形ABCD為等腰梯形．
∵CM=ACsin30°=，
∴S_ABCD=（BC+AD）CM=．
∵S_⊙O=π，
∴P點落在四邊形ABCD區域的概率==．
點評：本題利用了在圓中弧與弦的關系和直角三角形的性質、銳角三角函數的概念及概率的概念求解．用到的知識點為：等弧所對的圓周角相等；概率=相應的面積與總面積之比．