Question

已知：如圖，直y=2x+b交x軸于點B，交y軸于點C，點A為x軸正半軸上一點，AO=CO，△ABC的面積為12．
（1）求b的值；
（2）若點P是線段AB中垂線上的點，是否存在這樣的點P，使△PBC成為直角三角形？若存在，試直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，試說明理由；
（3）點Q為線段AB上一個動點（點Q與點A、B不重合），QE∥AC，交BC于點E，以QE為邊，在點B的異側作正方形QEFG．設AQ=m，△ABC與正方形QEFG的重疊部分的面積為S，試求S與m之間的函數關系式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得：B（-，0），C（0，b）
∴OB=，OC=b
∵AO=BO
∴A（b，0）．∴OA=b，AB=b+=b．
∵S_△ABC=AB•OC=12
∴×b•b=12
解得：b₁=4，b₂=-4（舍去）
∴b=4

（2）AB的中垂線是x=1，
當A是直角△BCP的直角頂點時，設BP的解析式是：y=-x+c，
把B的坐標代入得：1+c=0，解得：c=-1，
則BP的解析式是：y=-x-1，當x=1時，y=-，
則P的坐標是（1，-）；
同理，當C是直角頂點時求得P的坐標是（1，）；
當P是直角頂點時，BC==2，
BC的中點的坐標是（-1，2），
設P的坐標是（1，x），則（x-2）²+（1+1）²=（）²，
解得：x=1或3，
則P的坐標是（1，1）或（1，3）．
總之，P的坐標是：P₁（1，1），P₂（1，3），P₄（1，），P₃（1，-）．

（3）如圖，設正方形QEFG與AC相交于點M．
∵B（-2，0），A（4，0）
∴AB=6
在Rt△AOC中AC==4
∵EQ∥AC
∴=
∴EQ===．
∵EQ∥AC
∴∠AMQ=∠EQM=90°∠MAQ=45°
∴△QMA為等腰直角三角形
∴QM=AQ=m
當QM=QG時，正方形QEFG的邊FG恰好與AC共線．
此時=m，
解得：m=
當0＜m≤時，S=QE•QM=•m=-m²+4m．
當＜m＜6時，S=QE²=[（6-m）】²=（m-6）²．
∴S與m之間的函數關系式為S=．
分析：（1）根據△ABC的面積是12，即可得到一個關于b的方程，解方程求得b的值；
（2）線段AB中垂線的解析式是y=1，然后分A、B、P是直角頂點三種情況進行討論即可求得；
（3）在Rt△AOC中利用勾股定理求得AC的長度，然后根據平行線分線段成比例定理利用m表示出EQ的長度，然后分0＜m≤和＜m＜6兩種情況求得．
點評：本題考查了一次函數與直角三角形的性質、正方形的性質、平行線分線段成比例定理的綜合應用，正確分類討論是關鍵．