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如圖1,以△ABC邊AB和AC為邊作等邊△ABD和△ACE,連接DC,BE,
(1)判斷BE與DC的數量關系,并求BE與DC的夾角∠EFC的度數;
(2)繼續探索,如圖2,以△ABC的AB和AC為邊作正方形ABEF和ACGH,連接FC、BH,判斷FC和BH的數量關系,并求出此時FC與BH的夾角;

(3)如圖3中M、N分別是BC、FH的中點,P、Q分別是正方形的中心,順次連接MPNQ,判斷四邊形MPNQ的形狀并證明.
分析:(1)根據等邊三角形的性質可得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,再求出∠BAE=∠DAC,然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等,根據全等三角形對應邊相等可得BE=DC,全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠ACD,然后∠FEC+∠FCE=120°,再根據三角形內角和定理計算即可得解;
(2)根據正方形的性質可得AB=AF,AC=AH,∠BAF=∠CAH=90°,再求出∠BAH=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABH和△AFC全等,根據全等三角形對應邊相等可得BH=FC,全等三角形對應角相等可得∠AFC=∠ABH,然后∠EFC+∠EBH=180°,設BH、CF相交于點G,再根據四邊形的內角和定理計算即可求出∠BGF=90°,根據垂線的定義即可得證;
(3)根據正方形的對角線互相平分可得點P、Q分別是BF、CH的中點,再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PN∥BH,PN=
1
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BH,MQ∥BH,MQ=
1
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BH,NQ∥CF,NQ=
1
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CF,PM∥CF,PM=
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CF,再根據(2)的結論可得BH=CF,BH⊥CF,然后求出MP=PN=NQ=MQ,從而判定四邊形MPNQ是菱形,再根據BH⊥CF求出PN⊥NQ,根據有一個角是直角的菱形是正方形證明.
解答:解:(1)∵△ABD和△ACE都是等邊三角形,
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠BAE=∠DAC,
在△ABE和△ADC中,
AB=AD
∠BAE=∠DAC
AE=AC

∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=DC,∠AEB=∠ACD,
∴∠FEC+∠FCE=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°,
∴∠EFC=180°-(∠FEC+∠FCE)=180°-120°=60°;
故BE=DC,∠EFC的度數為60°;

(2)在正方形ABEF和ACGH中,AB=AF,AC=AH,∠BAF=∠CAH=90°,
∴∠BAF+∠BAC=∠CAH+∠BAC,
即∠BAH=∠CAF,
在△ABH和△AFC中,
AB=AF
∠BAH=∠CAF
AC=AH

∴△ABH≌△AFC(SAS),
∴BH=FC,∠AFC=∠ABH,
∴∠EFC+∠EBH=∠EFA+∠EBA=90°+90°=180°,
設BH、CF相交于點G,
則∠EGF=360°-180°-90°=90°,
∴BH⊥FC,
故BE=DC且BH與FC的夾角為90°;

(3)四邊形MPNQ為正方形.理由如下:
∵P、Q分別是正方形的中心,
∴P、Q分別是BF、CH的中點,
∵M、N分別是BC、FH的中點,
∴PN∥BH,PN=
1
2
BH,MQ∥BH,MQ=
1
2
BH,NQ∥CF,NQ=
1
2
CF,PM∥CF,PM=
1
2
CF,
根據(2)的結論,BH=CF,BH⊥CF,
∴MP=PN=NQ=MQ,
∴四邊形MPNQ是菱形,
∵BH⊥CF,PN∥BH,NQ∥CF,
∴PN⊥NQ,
∴菱形MPNQ是正方形,
故四邊形MPNQ為正方形.
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質,正方形的性質,三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質,準確識圖并熟記各性質是解題的關鍵,此類題目最大的特點是各小題所用的思路都相同.
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(2)繼續探索,如圖2,以△ABC的AB和AC為邊作正方形ABEF和ACGH,連接FC、BH,判斷FC和BH的數量關系,并求出此時FC與BH的夾角;

(3)如圖3中M、N分別是BC、FH的中點,P、Q分別是正方形的中心,順次連接MPNQ,判斷四邊形MPNQ的形狀并證明.

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